ラングランズ対応 - note1100’s blog

1 古典的な局所ラングランズ対応
F を剰余体の標数 p の p 進体として, 剰余体を k とする. この時, F の絶対ガロア群の惰性群 IF とし, フロベニウス元 Fr としたときに Weil 群を
$$0−→IF −→W_F −→⟨Fr⟩−→0$$
が成立するようにとる.

(Weil 群の位相としては IF が $W_F$の開集合となるように入れる. )

また, $d_F:W_F→\mathbb{Z} $を, $w=Fr^{d_F(w)}$が成立するように定義し,

$||w|| = q^{-d_F (w)}$
でノルムを定義する.
Definition 1.1

G を局所副有限群として, G の既約表現 (π, V ) が滑らかとして, 各v ∈ V における安定化群が G において開集合であることとする.

初めに Weil-Deligne 表現を次で定義する.

Definition 1.2

F の C 上の Weil-Deligne 表現 (WD 表現) とは, Weil 群 WF の表現 (r, V) と $N ∈End_C(V) $で, 次の条件を満たすような (r,V,N) のペアのこととする.
1. 任意の w ∈ WF に対して,
$r(w)Nr(w)^{-1 }= ||w||N$

この N はモノドロミーと呼ぶが, これは多様体上のベクトル束の定める淡中基本群の表現, つまりモノドロミー表現と対応がある. (N は, $\mathbb{Q}_l $係数表現で惰性群の生成元に対応する元と考えられる. )

Remark 1.3

WD 表現 (r,V,N) がフロベニウス半単純であるとは, ある, フロベニウス元のリフト $w ∈ W_F$に対して r(w) ∈ End(V ) が半単純であること

古典的な GLn 群の局所ラングランズ対応は次の集合としての 1:1 対応のこと.

Theorem 1.4
{GLnの C 係数smooth,irr,rep}/ ≃↔ {n dim WD Frobenius semisimple rep (r,V,N)}/ ≃

2 簡約代数群
ここでは, 簡約代数群の基本的な性質を確認する.
2.1 k=k
G/k で k が代数閉体の場合を考える. ここでは, 代数群を, k 上有限型の群スキームと
し, 特に G がアファイン k 上滑らかな代数群とする.
Definition 2.1

G が可解であるとは, Gi+1 が Gi の正規部分群スキームである列で,
G≥G1 ≥G2 ≥...≥Gn =1 , Gi/Gi+1 が可換であることとし, G が冪単とは, 更に,
$$G_i/G_{i+1}→ \mathbb{G}_a$$
が成立することとする.

以下では, R(G) で極大な可解かつ滑らかな連結正規部分群スキームであるとし, Ru(G) を極大な冪単かつ滑らかな連結正規部分群スキームのことした. (もちろん, 冪単ならば可解なので Ru(G) ⊂ R(G) である, ) この R(G) = 1 の時, G を半単純といい, Ru(G) = 1 の時に簡約という. (半単純であれば, 簡約である)

Definition 2.2

G の部分集合に関して, 極大トーラス, ボレル, パラボリックを次のようにして定義する.
1. T ⊂ G で T がトーラスとなる極大部分群スキームを極大トーラスという.
2. B ⊂ G で連結かつ滑らかな半単純部分群スキームで極大なものをボレルという.
3. P ⊂ G で滑らかな部分群スキームで G/P が k 上固有なものをパラボリックという.
このパラボリック部分群に関して次が成立する

Proposition 2.3 (Springer 1998, 6,2,7)

P ⊂ G がボレルを含むことと, パラボリックで
あることは同値.

2.2 general k

ここでは, k を代数閉体とは限らない一般の体で考える. G を k 上滑らかなアファイン代数群とする.

Definition 2.4

G が半単純, 簡約であるとして, G を k に基底変換した時に半単純, 簡約として定義する. また, H ⊂ G という部分群スキームに関して, 極大トーラス, ボレル, パラボリックを, k に基底変換した時にそのようになることとする.
次に分裂, 準分裂を次で定義する.
Definition 2.5

T が分裂とは, k 上で
$$T ≃ \mathbb{G}_m^n$$
となることとし, G が分裂として, G の極大トーラスが分裂することとする. また, G が
k 上定義されたボレルを含むときに, G を準分裂という.

Definition 2.6

P ⊂ G をパラボリック部分群として, L ⊂ P を
L ,→ P ↠ P / R u ( G ) が同型となるものとしてレヴィ部分群という.

パラボリック部分群はレヴィ部分群と冪単部分群に分解するが, これはリー群論でのレヴィ分解である. このレヴィ部分群に関して, 次が成立する.

Proposition 2.7 (Springer1998, 16.1.1)

P をパラボリックとして次が成立する. 1. レヴィ部分群が存在する.
2. 二つのレヴィ部分群 L1, L2 として, ある g ∈ P (k) が存在して,
L1 = Ad(g)L2
が成立する.
3. レヴィ部分群には, 極大な分裂部分トーラスが含まれる.
つまり, すべてのパラボリック部分群はレヴィ分解ができることが分かる.

Definition 2.8

ボレル B に関して, その極大部分トーラス T のペア (B, T ) のことをボ
レルペアという. また,
$$X_∗(T ) := Hom(\mathbb{G}_m, T/k^{sep} ), X^{∗}(T ) := Hom(T/k^{sep} , \mathbb{G}_m) $$
として定義する. 以下では, G を連結な, 分裂簡約代数群であるとする. この時, T を極大トーラスとすれば分裂する.

Definition 2.9
W(G,T) := NG(T)/T として T に対する G のワイル群を定義する.
すると, 共役を通じて, W (G, T ) は T に作用し, T はリー代数 g := Lie(G) に作用する. ここで, ルート系を定義する.
Definition 2.10

α ∈ X∗(T) がルートであるとは,
gα :={g∈g|tg=α(t)g,∀t∈T}
としたとき, α≠0, gα≠0 となるものとする.

ルート全体を Φ とかく. また, コルートを次で定める.
Proposition 2.11 (Milne 2017, Thm 2,1,11)

α ∈ Φ に対して, ker(α) =: Tα として, Tα
の中心化群 Gα とする.
1. Gα は T を極大トーラスに含むような簡約代数群 2.
Lie(Gα)≃Lie(T)⊕gα ⊕g−α
で, dimgα = dimg−α = 1
3. W(G,T)≃S2
4. W (G, T ) の非自明な元 sα として, ある αV ∈ X∗ (G) が一意的に存在して,
sα(x) = x − ⟨x, αV ⟩α が任意の X∗(T) に対して成立する.
この αV をコルートといい, コルート全体を ΦV とする. この (X∗, Φ, X∗, ΦV ) の性質を満たすような 4 つ組のことをルートデータとして, 以下で定義する.
Definition 2.12

ルートデータ (X, Φ, X V , ΦV ) とは, 有限生成アーベル群 X, X V れぞれの有限部分集合, Φ ⊂ X, ΦV ⊂ XV かつ
1. perfect pairing
⟨,⟩:X×XV −→Z
2. 全単射: Φ−→ΦV;α7→αV で次の性質を満たすものを持つことする.
で, そ
1. ∀α∈Φに対して,⟨α,αV⟩=2 2.Sα:X−→X,x7→x−⟨x,αV⟩αが,Sα(Φ)⊂Φを満たし,同様にSαV :XV −→
XV ;μ 7→ μ − ⟨α,μ⟩αV を定義した時に, SαV (ΦV ) ⊂ ΦV を満たす.

Remark 2.13

Sα, SαV は α, αV に直交する平面に関する折り返し
5

このルートデータが被約であるとは,
Q·α∩Φ = {±α}
が成立する事. 被約なルートデータと (G, T ) には対応がある.
Proposition 2.14

(G, T ) より構成される (X∗(T ), Φ, X∗(T ), ΦV ) は被約なルートデータ.
特に, SGA-XXI に従って基底付きルートデータを定義する.
Definition 2.15

∆ ⊂ Φ が基底であるとは,
Φ ,→ N · ∆ ∪ −N · ∆
, N · ∆ := {P
特に, この基底をとったとき, ∆ の元を単純ルートといい,
N·∆∩Φ =: Φ+
の元を正ルートという.

Remark 2.16

Φ+ を与えることと, 基底 ∆ を与えることは同値. 実際, Φ+ から
∆ = {α ∈ Φ+|α = α1 + α2,(α1,α2) ∈ Φ+ × Φ+というものは存在しない} として, ∆ が復元できる.
先に定義したルートデータに基底のデータを加えた, (X,Φ,XV ,ΦV ,∆)
のことを基底付きルートデータという.
Definition 2.17

基底付きルートデータ (X, Φ, XV , ΦV , ∆) の双対を, (XV , ΦV , X, Φ, ∆V )
で定義する. ここで, とした.
∆V :={αV ∈ΦV|α∈∆}

a∈∆
naa|na ≥ 0, ∀a}.

連結な分裂簡約代数群 G に対してルートデータが決まったが, G のボレルペア (B,T) に対して,
Φ+ := {α ∈ Φ|gα ⊂ Lie(B)}
を定義すれば, これより基底 ∆ ⊂ Φ が定まる. この基底付きルートデータを以下では
BR(G,B,T) として定義する. (この BR は Based Root.)

連結な分裂簡約代数群 G に関して, ピンニングを次で定義する.
Definition 2.19

G のピンニング (B,T,{Xα}α∈∆) とは, G のボレルペア (B,T) とそれにより定まる基底 ∆ に対して,
Xα ∈ gα − {0}
をとったペアのこととする.
この時, 次のような圏同値が存在する.

Theorem 2.20
{ピンニング付きの連結な分裂簡約代数群}/≃ ↔ {基底付きかつ被約なルートデータ}/≃ , (G,B,T,{Xα}) 7→ BR(G,B,T) は圏同値.

この記号の下に, Gk のパラボリック部分群と基底の部分集合には次の対応が存在する.

Theorem 2.21 (Milne, 2017, 25.2.3.3)

次の全単射が存在する.
{G(k)でのGのパラボリック部分群の共役類} −→ {∆の部分集合} , P → {α ∈ ∆|gα ̸⊂ Lie(Ru(P)}.

この定理から,G/k を連結な簡約代数群として(B,T),(B′,T′)をボレルペアとすれば,ある g ∈ G(ksep)/T(ksep) が一意に取れて, Ad(g)(B,T) = (B′,T′) が成立する. これより, 定理 2.20から次の同型が存在することが分かる.
i(B,T),(B′,T′) : BR(Gksep,B,T) ≃ BR(Gksep,B′,T′).

したがって, この同型を通じて Gksep のボレルペア (B,T) に関する BR(Gksep,B,T) の順系が定まるので,
brd(G):= lim BR(Gksep,B,T) −→
(B,T)
が定まる. (based root datum.) ここで, Γk で k の絶対ガロア群としたときに, ∀σ ∈ Γk
に対して,

σ : BR(Gksep,B.T) −→ BR(Gksep,Bσ,Tσ)

が各ボレルペア (B,T) に対して定まるのでこれから Γk は brd(G) に作用することが分かる. この Γk ↷ brd(G) について考える場合, 次の議論で G を準分裂と仮定してよいことが分かる.

Definition 2.22

G, G′ を k 上の連結簡約代数群で, G′ が G の内部形式であるとは, あ ′
る ψ : Gksep ≃ Gksep が存在して, ∀σ ∈ Γk に対して, ψ−1σ(ψ)
が内部自己同型であることとする. ここで, id⊗σ−1◦ψ◦id⊗σ=:σ(ψ):Gksep −→G′ksep
とした.
上記の ψ のことを内部ひねり (inner-twist) という. この内部ひねり ψ は Γk 不変な同型
brd(G) ≃ brd(G′ )

Proposition 2.23

任意の連結簡約代数群 G に対して準分裂な G の内部形式 G′ が存
を誘導する. 在する.
これより, 確かに Γk ↷ brd(G) を考えるときは, G が k 上準分裂としてよい. 3 局所ラングランズ対応
ここでは, F を p 進局所体として, C を標数 0 の代数閉体とする. G を F 上の連結な簡約代数群とし, これに関して C 上の連結簡約代数群 Gb で, あるボレルペア (B,T) に対して,
BR(Gb, B, T ) ≃ brd(G)V

となるものの存在が知られる. すると, Weil 群 WF の Gb への標準的な作用が次のようにして定まる. 定義と定理 2.20から,
WF ⊂Aut(brd(G)V)≃Aut(BR(Gb,B,T))≃Aut(Gb,B,T,{Xα}α∈∆)⊂Aut(Gb)
がピンニング {Xα} に対して成立するので, これによって WF ↷ Gb を定める. ここで, Gb というのは一意ではないので, 普遍的な Gb を構成する. (Gb, B, T ) と同様の性質を満たす, ほかの (Gb′,B′,T′) に関して,
BR(Gb′,B′,T′) ≃ brd(G)V ≃ BR(Gb,B,T) があるので, 定理 2.20より, ピンニングをそれぞれ固定することで
ιGb,Gb′ : (Gb,B,T,{Xα}) ≃ (Gb′,B′,T′,{Xα′ }) が誘導される. これより定まる順系の極限
lim Gb b −→
(G,B,T,{Xα})
を改めて, Gb と書くことにする. これは C 上の代数群であり, これに対して G の L-群を
LG := Gb(C) ⋊ WF
で定義する.
Remark 3.1

G′ を G の内部形式とすると, 内部ひねりによって L 群の同型
LG ≃L G′
が誘導される. 特に, G の L 群を考える場合は G を準分裂としてよい.
G の L 群に関するパラボリック部分群を定義する. Definition 3.2

P ⊂L G がパラボリックとは,
1. P −→L G −→ WF という標準的な射が全射. 2. P ∩ Gb(C) が Gb においてパラボリック部分群.

を満たす部分代数群のこと. このパラボリック部分群の重要な性質としてレレヴァントを定義する.(relevant.) その為
に一つ補題を用意する.
Lemma 3.3

P ⊂L G をパラボリックとして, P ∩ Gb の共役類は WF 作用で安定.
proof まず, 定義から任意の w ∈ WF に対して, P への持ち上げ (g, w) ∈ P が存在する. そこで,
なので,
が成立し, 示された.
すると,
Ad(g, w) · (P ∩ Gb) = P ∩ Gb w · P ∩ Gb = Ad(g−1)P ∩ Gb
BR(Gb,B,T) ≃ brd(G)V = lim (XV ,ΦV ,X,Φ,∆V ) −→
(B,T)
より, 定理 2.21から, G のボレルペア (B, T ) により定まる基底の双対 ∆V
の WF 安定な部分集合が対応することが分かる. (このボレルペアは Gb の P ∩ Gb が定めるボレルペア
に対応するものを考える. )
ここで, 更に ∆ −→ ∆V という標準的な全単射を通じて WF 安定な ∆ の部分集合が
定まるが, これに関して再び定理 2.21を用いることで, WF 安定な G のパラボリック部分群の共役類が対応する.
Definition 3.4

上記のように, P ⊂L G というパラボリック部分群に対応する, G のパラボリック共役類で WF 不変なものが, F 上で定義されたものを含むとき, P をレレヴァント (relevant) であるという.
Remark 3.5

G/F が準分裂であれば, L G の任意のパラボリック部分群がレレヴァントとなる.
次に L 群のレヴィ部分群を定義する.
Definition 3.6

P ⊂L G をパラボリックとして, P ∩ Gb のレヴィ部分群 L をとった時,
L の P における正規化群 NP (L) を LG のレヴィ部分群という.

次に, L 群の半単純性を次で定義する.
Definition 3.8

g ∈L G が半単純とは, 次が成立する事. F′/F を WF′ = ker(WF −→ Aut(Gb) として, g ∈ Gb ⋊ Gal(F ′ /F ) ,→ GLN が半単純. (十分大きな N に対する GLN に埋め込む)
さて, 以上の準備の下, Weil-Deligne 表現を一般化した L パラメータを定義し, 局所ラングランズ予想を考える.
Definition 3.9

連結な簡約代数群 G/F に関する C 上の Weil-Deligne L パラメータは (ρ,N) という, ρ ∈ Hom(WF,L G), N ∈ Lie(Gb) の次を満たすようなペアのこととする.
ρLρLb
1. WF −→ G−→WF は id であり, WF −→ G−→G(C) は局所定数写像.
2. ∀w ∈ WF に対して, が成立し, ρ(w) は半単純.
Ad(ρ(w))(N) = ||w||N
3. NP(L) ⊂ P ⊂L (G) をパラボリック部分群 P とそのレヴィ部分群とする. I m(ρ) ⊂ NP (L), N ∈ Lie(L) が成立すれば, P はレレヴァントである.
この L パラメータを用いることで, 局所ラングランズ予想を次のようにする. 以下, q は F の整数環の剰余位数とする.
Conjecture 3.10

c ∈ C を c2 = q としたとき,
LL : {irr sm rep of G(F) over C}/≃ ↠ {Weil Deligne L−Parameter over C for G}/Gb−共役が取れて, 各ファイバーは有限