関数体の数論 - note1100’s blog

2023年度の八王子数論セミナーのノートをまとめる.(以下は初日と二日目の分)

最初は, $A:=\mathbb{F}_q[t], K:=\mathbb{F}_q(t) , \mathbb{C}_\infty:="\overline{\mathbb{F}_q｟1/t｠}の(1/t)進完備化"$としたとき, $e_n(x):=\prod_{f \in A(d)}(x-f)$というものを考えるところから始まった.

ここで, $A_n(d)$は次数がd未満の多項式全体の集合とした.

これは, 後々Carlitz exponentialとうまく対応してくるものである.

Moore discriminantの性質から,

$$ e_(x)=\Delta(1,t,\ldots,t^{n-1},x)/\Delta(1,t,\ldots,t^{n-1})=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\frac{D_n}{D_kL_{n-k}^{q^i}}x^{q^i} $$

ここで,

$$ [k]:=x^{q^n}-x, D_n:=\prod_{k=1}^n [k]^{q^{n-k}}, L_n:=\prod_k [k] $$

として定義した. この$e_n(x)$の代わりに,

$$\tilde{e}_n(x)=x\prod_{f \in A(n)-\{0\}} (1-x/f)=\sum_{k}(-1)^k\frac{L_n}{D_kL_{n-k}^{q^k}}x^k$$

を考えるが, この係数$L_n/L_{k}^{q^{n-k}}$の記述に関して,

$$L_n/[1]^{(q^{n}-1)/(q-1)}\times {[1]^{q^{n-k}-1/(q-1)}/L_{n-k}}^{q^k}\times [1]^{q^{k}-1/(q-1)}$$

と書け, $L_d/[1]^{(q^d-1)/(q-1)}=\prod_{k=0}^{d-1} (1-[k+1]/[k])$ であり, これがprincipal unitとなる.

そこで$d \rightarrow \infty$を考えることができるが, この極限を$s$ととれることを踏まえて, 計算をすることで以下がわかる.

$$ \tilde{e}_C(x):=\lim_n \tilde{e}_n(x)= 1/s \sum_{k} (-1)^{k}[1]^{(q^{k}-1)/(q-1)}\frac{(sx)^k}{D_{k}x^{q^{k}}} $$

これはCarlitz exponential

$$e_C(x):=\sum_k x^{q^k}/D_k$$

を用いることで, 次のような関係式が満たされることがわかる.

$$\tilde{e}_C(x)/x=e_C(\tilde{\pi}x)/\tilde{\pi}x$$

この, $\tilde{\pi}$というのはCarlitz周期と呼ばれるものであり,

$$\tilde{\pi}=s(-[1])^{1/(q-1)}$$

として定義される. これによって,

$$e_C(x)=x\prod_{0\neq l\in \tilde{\pi}A}(1-x/l)$$

という無限積表示が得られることがわかる. また, ここで得られた公式,

$$\tilde{e}_C(x)/x=e_C(x)/x$$

の辺々に対数微分$z(d/dz)$をとることで, Carlitz zeta

$$\zeta_C(k):=\sum_{f:monic \in A}1/f^k$$

に関するEular関係式が得られる.

次に, Carlitz加群の構成を行おう.

簡単な計算によって, 任意の$a$に対して, ある$ C_a \in K\{τ\} $が取れて, (τはq冪のオペレーターで、K{τ}でK係数のオペレーターのなす非可換環とした.)

$$e_C(ax)=C_a(e_C(x))$$

が成立する. 特に$a=t$では簡単で以下のように書ける.

$$ C_{t}=t+τ$$

ここで, できる$A \hookrightarrow K\{τ\}$ という $\mathbb{F}_q$-lin をCarlitz加群といい, これによって, 自然に$\mathbb{C}_\infty$に$A$加群の構造が入る.

このようにして, あたかもリー代数とリー群を$exp_{G}$がつないでいるように, $A$と$\mathbb{C}_\infty$を$e_C$がつないでいるのである. 無限積の表示から, $e_C$は$\tilde{\pi}A$に関して周期的であるので, Carlitz加群の等分点として

$$C_{tors}:=\{e_C(f\tilde{\pi})|f \in K\}$$

で考える. 感動的なのは, $ K $の任意の代数拡大$L$に対して, $L(C_{tors})/L$がアーベル拡大であることである. また, $C_a(τ)=\sum_{k=0}^dC_a^{(k)}(τ)^{k}$としたとき, $C_a^{(k)}$に関する漸化式が $$C_aC_t=C_tC_a$$ という関係式から導出される. 次に, $e_C$の逆に関して, 形式的に構成することができ, これをCarlitz logarithm という. (この係数は$e_C(tx)=te_C(x)+e_C(x)^{q}$から一意に定まる. ) 形式的に計算することにより, $$log_C(x):=\sum_{k}(-1)^kx^{q^k}/L_k$$ とわかる. この収束半径は, $$-\frac{1}{q-1}$$ と計算できる. このようにして, $e_C,log_C$が定義できたので, $ x^a=e_C(a\log_C(x)) $のようなものを考えることができる.

(定義)

$E_j(z)$という$\mathbb{C}_\infty \rightarrow \mathbb{C}_\infty$を $$e_C(z\log_C(x))=\sum_{k=0}E_k(z)x^{q^k}$$ によって定義する.

この$E_j$というのは, 簡単な計算から$r^j$次の$z$に関する多項式であり, $F_q$線形である. さらに, $z=a \in A$を代入すれば $$E_j(a)=C_a^{(j)}$$ であることがわかる. ここで, $E_j(z)$に関する著しい性質として, $$E_j(z)=e_j(z)/D_j$$ が成り立つことである. (辺々の零点と, $z=t^{q^j}$を代入したものをみればわかる. )

(3日目)
今日は, Drinfeld加群の性質やt-moduleに入った.
$ \iota:A \rightarrow L$
という$F_q$上の体Lへの準同型を固定する. (LはA-fieldという. $\iota(t):=\theta $とする. )
定義

$d\ge 1$として, d次元t-module とは$F_q$代数の準同型で

$$\Phi: A \rightarrow M_d(L{τ}) $$

であり,

$$ \Phi(t)=(\theta I_d+N)τ^{0}+(higher terms) $$

となるもの. ここでNは冪零であるとした.
以下,
$$\partial \Phi:=\theta I_d+N$$
とする.

このd=1の場合をDrinfeld加群という.
これにより, $L^d$はA加群として考えられる.
これは, Carlitz加群の自然な拡張を与えているが, 問題は, 一意化が存在するかどうかである.
しかし, $L=C_\infty$の時にはExpの存在は知られている.
つまり, 次のことが知られている.
(命題)

$$Exp_\Phi:C_\infty^d \rightarrow C_\infty^d$$

という$F_q$線形な, $M_d(C_\infty)$係数のべき級数がとれ,
$\partial \Phi(a)$倍が$Exp_{\Phi}$を介して$\Phi(a)$倍を誘導する.

この$Exp_{\Phi}$の核は有限生成かつ離散な$\partial \Phi(A)$加群であり, そのランクを$(\Phi,C_\infty^d)$のランクという.

また, $Exp_{\Phi}$が全射であるときに一意化可能であるという.
(Drinfeld加群では常に一意化可能であることが知られる. )
このt-moduleのmotiveのようなものとして生じるのがt-motiveである.
（定義)
$L\{τ\}[t]$加群で, $L\{τ\}$加群として有限生成かつ自由であるものMが, t-motiveであるとは,
$$(t-\theta)^lM ⊂σH$$
以下では, この$L=C_\infty$の場合を考えていく.
特に, アーベル多様体の一意化の類似を考えるために, t-motiveがabelianであることを,
L[t]加群として階数有限な有限生成自由加群となることと定義し, r(M)でその階数として定義する.
トーラスがアーベル多様体になるには, Rieman計量が存在することが必要であったが, このabelian t-motiveに対しても同様のことが知られている.
アーベルなt-motive $M$に対して,
Mの$C_\infty[t]$加群の基底をMとし,
この基底に関するτの表現行列$\Theta$とする.
この時, アーベルt-motiveがRigid analytically trivial であるとして,
$$\gamma=\gamma^{(1)}\Theta$$
がある, $\gamma \in GL_{r(M)}(C_\infty<t>)$に対して成立することとする.
$\gamma$をRigid analytic trivializationという.
Andersonは, Rigid analytic trivialなt-motiveに付随するt-moduleは一意化可能であることと同値であることを示した.

次にdual t-motiveについて進んだ.
$L/F_q$を完全体として,

$$σ: x\mapsto x^{1/q}$$

というオペレーターを考える.
これに関して,
$$*: L\{τ\}[t]\simeq L\{σ\}[t]; \sum c_nτ^n\mapsto \sum c_n^{(-n)}σ^n$$
というdualな同型がある.
dual t-motiveもt-motiveと同様にして定義することができる.

（定義)
左$L\{σ\}[t]$加群Hで, $L\{σ\}$加群として階数有限な自由加群で,
$$(t-\theta)^n ⊂σH$$
が十分大きなnに対して成立する時に, Hをt-motiveという.

t-motiveのアーベルである条件に対応するものが,
A-finiteというものであり, 次のようにして定義する.

(定義）
Hがdual t-motiveとして, これがA-finiteであるとは,
Hが$L[t]$加群として階数有限で有限生成であり, 自由であることとする.
このdual t-motiveを考える理由として, 先に見たt-moduleとt-motiveの間のanti-equivな圏同値が
圏同値となることである.
以下で, それを見る.
まず, *の拡張を次のようにする.

$$*:M_{m\times n}(L\{τ\}) \mapsto M_{m\times n}(L\{σ\}); (M_{i,j})\mapsto (M_{i,j})^{*}:=(M_{j,i}^{*})$$

この時, Dual t-module $\Phi, \mathbb{G}_a^n)$に対して,

$$H(\Phi):=Mat_{1\times n}(L\{σ\})$$

$L{σ}[t]$加群としての, この$H(\Phi)$の構造は
$ct^n$で$c\in L{σ}$に対しては, そのまま合成して, $t^n$の部分は$\Phi(t^n)^{*}$で引き戻しをすることで作用を定義できる.
これが圏同値を与えている.
このdual t-motiveの世界でのRigid analytic trivializationについて考える.
dual t-motive HがA-finiteであるとして, hを$L[t]$-basisとする.
この時, $σ$の表現行列行列$\Phi$が取れて,
$$\Psi^{(-1)}=\Phi \Psi$$
となる, $\Psi \in GL_{r}(C_\infty<t>)$が存在する時, $\Psi$をRigid analytic trivializationという.

(このRigidは淡中圏としてのRigid.)